Các bài toán thù về hàm số lượng giác 11 thông thường có vào nội dung đề thi vào cuối kỳ với trong đề thi THPT tổ quốc, đó cũng là câu chữ kỹ năng đặc trưng nhưng mà những em cần nắm vững.

Bạn đang xem: Hàm số lượng giác, tính tuần hoàn sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác


Bài viết này đã khối hệ thống lại những dạng toán thù về hàm con số giác, mỗi dạng toán sẽ có được ví dụ cùng chỉ dẫn giải chi tiết nhằm các em tiện lợi áp dụng lúc chạm mặt các dạng bài xích tập hàm số lượng giác tương tự.

I. Lý tmáu về Hàm con số giác

1. Hàm số sin: y = sinx

+ Tập xác định:  và

*

+ y = sinx là hàm số lẻ

+ y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ luân hồi 2π.

- Hàm số y = sinx nhận những quý hiếm đặc biệt:

 ° sinx = 0 khi 

 ° sinx = 1 khi 

*

 ° sinx = -1 khi 

*

+ Đồng thị hàm số y = sinx có dạng:

*

2. Hàm số cosin: y = cosx

+ Tập xác định:  và

*

+ y = cosx là hàm số chẵn

+ y = cosx là hàm số tuần hoàn cùng với chu kỳ 2π.

- Hàm số y = cosx dìm các quý hiếm quánh biệt:

 ° cosx = 0 Lúc

 ° cosx = 1 khi

*

 ° cosx = -1 Lúc

*

+ Đồng thị hàm số y = cosx có dạng:

*

3. Hàm số tan

+ Hàm số tan: 

*

+ Tập xác định: 

*

+ y = tanx là hàm số lẻ

+ y = tanx là hàm số tuần hoàn cùng với chu kỳ luân hồi π.

- Hàm số y = tanx nhận các cực hiếm sệt biệt:

 ° tanx = 0 khi 

 ° tanx = 1 Lúc

 ° sinx = -1 lúc

+ Đồng thị hàm số y = tanx bao gồm dạng:

*

4. Hàm số cot

+ Hàm số cot:

*

+ Tập xác định: 

*

+ y = cotx là hàm số lẻ

+ y = cotx là hàm số tuần hoàn cùng với chu kỳ π.

- Hàm số y = cotx dìm các giá trị sệt biệt:

 ° cotx = 0 Lúc

 ° cotx = 1 khi 

 ° sinx = -1 khi 

+ Đồng thị hàm số y = cotx bao gồm dạng:

*

II. Các dạng toán về hàm số lượng giác

° Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

* Phương pháp:

- Tìm ĐK của biến hóa số x nhằm hàm số xác định và để ý mang lại tập xác minh của các hàm con số giác.

 Ví dụ 1 (Bài 2 trang 17 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Tìm tập xác minh của hàm số:

a) b)

c) d)

° Lời giải bài bác 2 (trang 17 SGK Đại số với Giải tích 11):

a) Hàm số  xác định:

⇔ sinx ≠ 0

⇔ x ≠ kπ, (k ∈ Z).

- Kết luận: Tập khẳng định của hàm số là D = Rkπ, k ∈ Z.

b) Hàm số  xác định:

*
 (1)

- Vì -1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x ∈ R, nên

*
 
*
 
*

- Do kia, (1) ⇔ (1 - cosx)≠0 ⇔ cosx≠1 ⇔ x≠k2π.

- Kết luận: Vậy tập khẳng định của hàm số là D = Rk2π, k ∈ Z.

c) Hàm số  xác định:

 

*

 

*

 

*

- Kết luận: Vậy tập xác minh của hàm số là:

*
 

d) Hàm số  xác định:

 

*

 

*

- Kết luận: Vậy tập khẳng định của hàm số là:

 

*
 

° Dạng 2: Xác định hàm số lượng giác là hàm chẵn, hàm lẻ

* Pmùi hương pháp:

♦ Để xác định hàm số y=f(x) là hàm chẵn giỏi lẻ, ta làm nhỏng sau:

 Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm y=f(x)

 Bước 2: Với x bất kỳ: x ∈ D, ta minh chứng -x ∈ D

 Cách 3: Tính f(-x):

◊ Nếu f(-x) = f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số chẵn;

◊ Nếu f(-x) = -f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số lẻ;

◊ Nếu có x ∈ D:

f(-x) ≠ f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số chẵn;

f(-x) ≠ -f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số lẻ;

 ví dụ như 1: Khảo giáp tính chẵn lẻ của hàm số sau:

 a) y = tanx + 3sinx

 b) y = 2cosx + sin2x

 c) y = 5sin2x.cos3x

 d) y = 2sinx + 3cosx

* Lời giải:

 a) y = tanx + 3sinx

+ Tập xác định: 

*

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = tan(-x) + 3sin(-x) = -tanx - 3sinx = -(tanx + 3sinx) = -f(x), ∀x ∈ D.

⇒ y = tanx + 3sinx là hàm số lẻ.

 b) y = 2cosx + sin2x

+ Tập xác định: 

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 2cos(-x) + sin2(-x) = 2cos(x) + 2 = 2cosx + (-sinx)2 = 2cosx + sin2x = f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 2cosx + sin2x là hàm số chẵn.

 c) y = 5sin2x.cos3x

+ Tập xác định: 

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 5sin(-2x)cos(-3x) = -5sin2x.cos3x = -f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 5sin2x.cos3x là hàm số lẻ.

 d) y = 2sinx + 3cosx

+ Tập xác định: 

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng đều có -x ∈ D

+ Ta xét với 

*

*
*

⇒ y = 2sinx + 3cosx KHÔNG là hàm số chẵn cũng KHÔNG là hàm số lẻ.

* Lưu ý: Để minh chứng hàm số y=f(x) ko chẵn (hoặc không lẻ) thì ta phải chỉ ra rằng bao gồm vĩnh cửu x ∈ D sao cho: f(-x) ≠ f(x) (hoặc f(-x) ≠ -f(x)).

° Dạng 3: Hàm số tuần hoàn, khẳng định chu kỳ tuần hoàn

* Phương pháp:

♦ Để minh chứng y=f(x) (bao gồm tập khẳng định D) tuần hoàn, buộc phải minh chứng gồm T ∈ R sao cho:

 1) x + T ∈ D; x - T ∈ D, ∀x ∈ D.

 2) f(x+T) = f(x),∀x ∈ D.

♦ Giả sử hàm số y=f(x) tuần trả, để tìm kiếm chu kỳ luân hồi tuần trả ta bắt buộc kiếm tìm số dương T nhỏ dại độc nhất thỏa mãn 2 đặc thù 1) và 2) ở bên trên.

 ví dụ như 1: Chứng minc hàm số y = sin2x tuần trả cùng với chu kỳ π.

* Lời giải: 

- Hàm số y = f(x) = sin2x

+ TXĐ: D=R; x + π ∈ D, x - π ∈ D, ∀x ∈ D.

+ Ta có: f(x + π) = sin2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin2x = f(x).

⇒ Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn.

+ Giả sử bao gồm a, cùng với 0 • ví dụ như 2: Chứng minch hàm số  là hàm số tuần trả với tra cứu chu kỳ luân hồi tuần hoàn của nó.

* Lời giải: 

- Hàm số:

+ TXĐ:

*
 
*

⇒ 

*
*

+ Ta có: 

*

+ Ta có: 

*
 
*
 
*
 

⇒ Hàm số  là hàm số tuần trả.

Xem thêm: Hiệp Khách Hành Mobile 12+, Hiệp Khách Hành Mobile Per Gamota Corporation

+ Giả sử có a:

*

+ Hàm 

*

 Ví dụ 2: Xác định các khoảng tầm đồng trở thành và khoảng nghịch biến chuyển của hàm số y = |sinx| trên đoạn <0;2π>.

* Lời giải: 

+ Từ vật thị hàm số y = |sinx| ngơi nghỉ trên, ta xét trong đoạn<0;2π> , ta có:

 - Hàm số đồng biến chuyển khi 

*

 - Hàm số nghịch thay đổi khi 

*

° Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), quý hiếm bé dại độc nhất vô nhị (GTNN) của hàm con số giác

* Phương thơm pháp:

- Vận dụng tính chất: -1 ≤ sinx ≤ 1; -1 ≤ cosx ≤ 1

 Ví dụ: Tìm quý giá lớn số 1 (GTLN) cùng quý giá nhỏ dại tuyệt nhất (GTNN) của các hàm số sau: