Mời các bạn cùng tham khảo ngôn từ bài xích giảng Bài 1: Hệ pmùi hương trình con đường tính dưới đây để tò mò về dạng biểu diễn ma trận, giải hệ pmùi hương trình tuyến đường tính bởi phương pháp Gauss, định lý Cronecker - Capelli, hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất,...

Bạn đang xem: Hệ phương trình tuyến tính


1. Dạng màn biểu diễn ma trận

2. Giải hệ pmùi hương trình tuyến đường tính bằng phương pháp Gauss

3. Định lý Cronecker - Capelli

4. Hệ Cramer

5. Hệ phương trình con đường tính thuần nhất


Ví dụ: Xét hệ 3 pmùi hương trình đường tính 4 ẩn số sau đây:

(left{ eginarrayl 2x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1\ x_1 - 4x_3 + 5x_4 = - 2\ - 2x_2 + x_4 = 0 endarray ight.)

Đặt(A = left( eginarray*20c 2& - 1&1& - 3\ 1&0& - 4&5\ 0& - 2&0&1 endarray ight),,X = (x_1;x_2;x_3;x_4) = left( eginarrayl x_1\ x_2\ x_3\ x_4 endarray ight),,và,B = left( eginarrayl 1\ - 2\ 0 endarray ight))

lúc kia, hệ pmùi hương trình trên rất có thể viết lại dưới dạng ma trận là: AX = B.

Trong trường hòa hợp tổng quát, ta xét hệ m phương trình con đường tính nẩn nlỗi sau:

(left{ eginarrayl a_11x_1 + a_12x_2 + .... + a_1nx_n = b_1\ a_21x_1 + a_22x_2 + .... + a_2nx_n = b_2\ ................................\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + .... + a_mnx_n = b_m endarray ight.)

Đặt(A = (a_ mij)_m,x,n,,X = left( eginarrayl x_1\ .\ .\ .\ x_n endarray ight),,B = left( eginarrayl b_1\ .\ .\ .\ b_n endarray ight)). Lúc kia, hệ phương thơm trình bên trên có thể viết lại bên dưới dạng ma trận là AX = B.

Ma trận(A_m x n) Call là ma trận hệ sổ của hệ phương trình.Ma trận(overline A = (A|B)) Điện thoại tư vấn là ma trận hệ số không ngừng mở rộng của hệ pmùi hương trình.X hotline là vectơ ẩn.

2. Giải hệ phương thơm trình con đường tính bởi phương thức Gauss.


Một cách thức thịnh hành để giải hệ pmùi hương trình tuyến tính là cách thức Gauss, gửi ma trận hệ số mở rộng (overline A ) về dạng cầu thang xuất xắc bậc thang thu gọn, dựa vào các phép biến đổi sơ cấp trên cái.

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 6\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3\ x_1 + x_3 = 4 endarray ight.,,,(I))

Giải:

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là :

Ta tất cả hệ phương thơm trình (I) tương đương:

(left{ eginarrayl x_1 + x_3 = 4\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,hay,,left{ eginarrayl x_1 = 4 - x_3\ x_2 = 5 - x_3 endarray ight.)

Cho(x_3 = alpha in R), nghiệm của hệ là(x_1 = 4 - alpha ,x_2 = 5 - alpha ,x_3 = altrộn )

Nlỗi cố kỉnh, hệ phương trình tất cả vô vàn nghiệm cùng với nghiệm tổng quát là:

(X = (4 - alpha ;5 - alpha ;alpha );alpha in R)

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 = - 1\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,(I))

Giải

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là:

Ta có hệ phương thơm trình tương đương(left{ eginarrayl x_1 = 1\ x_2 = 2\ x_3 = 3 endarray ight.)

Vậy hệ tất cả nghiệm độc nhất X = (1;2;3)

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ 2x_1 + x_3 = 0\ 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 3 endarray ight.,,(I))

Giải: Ma trận thông số mở rộng của (I) là

Ta có hệ pmùi hương trình tương đương:(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ - 2x_2 + 5x_3 = - 2\ 0 = 1 endarray ight.)

Vậy hệ phương thơm trình vô nghiệm


3. Định lý Cronecker - Capelli


Xét hệ phương trình đường tính: AX = B với(A_m,x,n,,X_n,,x,1,,B_m,x,1)

Ta có:

Hệ gồm nghiệm duy nhất(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = n)Hệ bao gồm vô vàn nghiệm(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = k khi kia, hệ pmùi hương trình bao gồm k ẩn chính ứng với k bộ phận dẫn đầu và n - k ẩn tự do, được gửi lịch sự vế đề xuất.Hệ vô nghiệm( Leftrightarrow R(A)

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - x_3 = 2\ 2x_1 + x_3 = 1\ x_2 + 2x_3 = - 2 endarray ight.,(I))

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có:(R(A) = R(overline A) = 3)số ẩn

Vậy hệ tất cả nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)

Ví dụ: Giải hệ phuơng trình đường tính

(left{ eginarrayl x_2 - 2x_3 = 1\ x_1 + x_3 = - 2\ 2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = - 1 endarray ight.(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có: (R(A) = 2 . Vậy hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 3\ 2x_1 + x_3 = 2\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 endarray ight.,(I))

Giải:Ma trận thông số mở rộng của (I) là

Ta có:(Rleft( A ight) m = m Rleft( overline A ight) m = m 2) (số ẩn là 3). Vậy hệ tất cả vô số nghiệm cùng với 2 ẩn bao gồm ứng với 2 bộ phận đứng vị trí số 1 là x1, x2. Giải x1, x2theo ẩn tự do x3 ta bao gồm hệ pmùi hương trình bao gồm vô vàn nghiệm với nghiệm tổng thể là:(X = left( 1 - fracalpha 2; - 2 + fracalpha 2;alpha ight),với,altrộn in R)


4. Hệ Cramer


Hệ phương trình con đường tính AX = B được Điện thoại tư vấn là hệ Cramer trường hợp A là ma trận vuông ko suy biến chuyển , nghĩa là(left| A ight| e 0)

Khi đó, ta gồm nghiệm duy nhất:(X = A^-1B)

Nếu cung cấp của ma trận A tương đối phệ thì Việc tìm(A^-1) tương thay đổi phức hợp. Nhiều hơn, tất cả lúc ta bỏ ra đề nghị kiếm tìm một vài ẩn (x_j) gắng vày toàn cục các ẩ(X=(x_1; x_2;....;x_n)). Từ kia, tín đồ ta đưa ra công thúc tính từng ẩn (x_j) dựa vào bí quyết (X = A^-1B) nhỏng sau :

(x_j = fracD_jD)

Trong đó (D = left| A ight|,và,D_j) là định thức của ma trận dành được từ bỏ A bằng phương pháp vậy cột j bởi vế đề nghị (cột B ).

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 3\ - 3x_1 + x_2 = - 2\ - 2x_1 + x_3 = 1 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

(eginarrayl D = left| eginarray*20c 1& - 2& - 1\ - 3&1&0\ - 2&0&1 endarray ight| = - 7;,,,,D_1 = left| eginarray*20c - 3& - 2& - 1\ - 2&1&0\ 1&0&1 endarray ight| = - 6\ D_2 = left| eginarray*20c 1& - 3& - 1\ - 3& - 2&0\ - 2&1&1 endarray ight| = - 4;,,,D_3 = left| eginarray*20c 1& - 2& - 3\ - 3&1& - 2\ - 2&0&1 endarray ight| = - 19 endarray)

Vậy nghiệm là(X = left( fracD_1D;fracD_2D;fracD_3D ight) = left( frac67;frac47;frac197 ight))


5. Hệ phương trình tuyến đường tính thuần tốt nhất.


Hệ pmùi hương trình con đường tính AX = 0 Điện thoại tư vấn là hệ thuần nhất. Ngoài những đặc điểm chung của hệ AX = B, hệ thuần nhất AX = 0 còn tồn tại các đặc thù riêng biệt như sau :

Hệ luôn luôn luôn luôn tất cả nghiệm tầm thường X = 0 (không tồn tại ngôi trường vừa lòng hệ vô nghiệm)Nếu A là ma trận vuông, ko suy biến thì hệ có nghiệm độc nhất vô nhị (X = A^-10 = 0), chính là nghiệm tầm thường.Nếu hệ gồm vô vàn nghiệm thì tập nghiệm là 1 trong không gian con của không gian(R^n) (với n là số ẩn). Một cửa hàng của không khí nghiệm được hotline là một trong hệ nghiệm cơ bản.

Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 0\ 2x_1 - x_2 = 0\ x_2 + 2x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:(D = left| eginarray*20c 1& - 1&1\ 2& - 1&0\ 0&1&2 endarray ight| = 4 e 0)

Đây là hệ Cramer, nên hệ có nghiệm độc nhất vô nhị X = (0; 0; 0)

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình đường tính(left{ eginarrayl x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0\ - 2x_1 + x_2 = 0\ - x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Hệ tất cả vô vàn nghiệm cùng với nghiệm bao quát là:(X = ( - altrộn ; - 2alpha ;alpha ) = altrộn ( - 1; - 2;1),alpha in R)

Một hệ nghiệm cơ bạn dạng là (-1;-2;1). Số chiều của không gian nghiệm là một trong.

Xem thêm: $ Trong Excel Là Gì ? Tại Sao Phải Sử Dụng Ký Hiệu $ Ở Excel

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 - x_4 = 0\ x_2 - x_3 - x_4 = 0\ 2x_1 - x_2 - x_3 - 3x_4 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Nghiệm tổng quát là:

(X = (altrộn + 2eta ;altrộn + eta ;altrộn ;eta ) = altrộn (1;1;1;0) + eta (2;1;0;1),với,,alpha ,eta in R)

Một hệ nghiệm cơ bạn dạng là (1;1;1;0).(2;1;0;1). Số chiều của không gian nghiệm là 2.